Question

已知函数f（x）=ax²+2bx+4c（a，b，c∈R，a≠0）．
（1）若函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，求证：4b²-16ac＜-1；
（2）若b=4，c=

3

4

时，对于给定的负数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）]时，都有|f（x）|≤5，求a为何值时M（a）最大？并求M（a）的最大值；
（3）若a＞0，且a+b=1，又|x|≤2时，恒有|f（x）|≤2，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由于函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，所以ax²+2bx+4c=±x无解，从而△＜0，故可证；
（2）把b与c的值代入f（x）中，配方得到顶点式，由a小于0，得到函数有最大值，表示出这个最大值，当最大值大于5时，求出此时a的范围，又最大值小于-

4

a

，M（a）是方程ax²+8x+3=5的较小根，利用求根公式求出M（a）即可判断出M（a）小于

1

2

；当最大值小于等于5时，求出此时a的范围，最大值大于-

4

a

，M（a）是方程ax²+8x+3=-5的较大根，根据求根公式求出M（a）即可判断M（a）小于等于

5 +1

2

，又

5 +1

2

大于

1

2

，即可得到M（a）的最大值；
（3）求出f（x）的导函数，由a大于0，求出函数有最大值让其等于2，得到a与b的关系式，由-2≤f（0）=4a=4a+4b+4c-4（a+b）=f（2）-4≤2-4=-2，得c的值，又因为|f（x）|≤2，所以f（x）≥-2=f（0），即可得到x=0时，函数取得最小值，表示出对称轴让其等于0，即可求得b的值，进而求出a的值，把a，b和c的值代入即可确定出f（x）的解析式

解答：解：（1）证明：∵函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，
∴ax²+2bx+4c=±x无解
∴△＜0
∴4b²-16ac＜-1；
 （2）

把b=4，c=

3

4

代入得：f（x）=ax²+8x+3=a (x+

4

a

)2+3-

16

a

，
∵a＜0，所以f（x）_max=3-

16

a

①当3-

16

a

＞5，即-8＜a＜0时，M（a）满足：-8＜a＜0且0＜M（a）＜-

4

a

，
所以M（a）是方程ax²+8x+3=5的较小根，
则M（a）=

-8+ 64+8a

2a

=

2

16+2a +4

＜

2

4

=

1

2

；
②当3-

16

a

≤5即a≤-8时，此时M（a）≥-

4

a

，所以M（a）是ax²+8x+3=-5的较大根，
则M（a）=

-8- 64-32a

2a

=

4

4-2a -2

≤

4

20 -2

=

5 +1

2

，
当且仅当a=-8时取等号，
由于

5 +1

2

＞

1

2

，因此当且仅当a=-8时，M（a）取最大值

5 +1

2

；
（3）求得f′（x）=2ax+2b，
∵a＞0，∴f（x）_max=2a+2b=2，即a+b=1，
则-2≤f（0）=4a=4a+4b+4c-4（a+b）=f（2）-4≤2-4=-2，
∴4c=-2，解得c=-

1

2

，
又∵|f（x）|≤2，所以f（x）≥-2=f（0）
∴f（x）在x=0处取得最小值，且0∈（-2，2），
∴-

2b

2a

=0，解得b=0，从而a=1，
∴f（x）=x²-2．

点评：本题以函数为载体，考查数形结合的数学思想，会求二次函数在闭区间上的最值，掌握二次函数的图象与性质，是一道综合题．