Question

8．若函数y=ksin（kx+φ）（$k＞0，|φ|＜\frac{π}{2}$）与函数y=kx-k²+6的部分图象如图所示，则函数f（x）=sin（kx-φ）+cos（kx-φ）图象的一条对称轴的方程可以为（　　）

• A． $x=-\frac{π}{24}$
• B． $x=\frac{13π}{24}$
• C． $x=\frac{7π}{24}$
• D． $x=-\frac{13π}{24}$

Answer 1

分析 由函数的最大值求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得f（x）的图象的一条对称轴的方程．

解答 解：若函数y=ksin（kx+φ）（$k＞0，|φ|＜\frac{π}{2}$）与函数y=kx-k²+6的部分图象如图所示，
根据函数y=ksin（kπ+φ）（k＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最大值为k，∴-k²+6=k，∴k=2．
把点（$\frac{π}{12}$，0）代入y=2sin（2x+φ）可得 sin（$\frac{π}{6}$+φ）=0，∴φ=-$\frac{π}{6}$，∴入y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
则函数f（x）=sin（kx-φ）+cos（kx-φ）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2cos（2x+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{5π}{12}$）．
令2x+$\frac{5π}{12}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{24}$，k∈Z，故f（x）的图象的对称轴的方程为得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{24}$，k∈Z
当k=1时，可得函数f（x）=sin（kx-φ）+cos（kx-φ）图象的一条对称轴的方程可以为$\frac{13π}{24}$，
故选：B．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最大值求出A，由特殊点的坐标求出φ的值；三角恒等变换、正弦函数的图象的对称性，属于中档题．