某药厂在动物体内进行新药试验.已知每投放剂量为m的药剂后.经过x小时该药剂在动物体内释放的浓度y满足函数y=mf=$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}{x^2}+2x+8.0＜x≤4\\-\frac{x}{2}-{log 2}x+12.4＜x≤16\end{array}$当药剂在动物体内释放的浓度不低于12时.称为该药� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．某药厂在动物体内进行新药试验，已知每投放剂量为m（m＞0）的药剂后，经过x小时该药剂在动物体内释放的浓度y（y毫克/升）满足函数y=mf（x），其中f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}{x^2}+2x+8，0＜x≤4\\-\frac{x}{2}-{log_2}x+12，4＜x≤16\end{array}$当药剂在动物体内释放的浓度不低于12（毫克/升）时，称为该药剂达到有效．
（1）为了使在8小时之内（从投放药剂算起包括8小时）始终有效，求应该投放的药剂m的最小值；
（2）若m=2，k 为整数，若该药在k 小时之内始终有效，求k的最大值．

分析（1）求出函数的解析式，根据函数的单调性可得关于m的不等式组，解得即可求出m的范围，问题得以解决，’
（2）由m=2，得到y=2f（x），根据函数的定义域分段讨论即可求出．

解答解：（1）由$y=mf（x）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{m}{2}{（x-2）^2}+10m，0＜x≤4\\-\frac{mx}{2}-m{log_2}x+12m，4＜x≤16\end{array}\right.$，
可知在区间（0，4]上有，即8m≤y≤10m，
又f（x）在区间（4，16]上单调递减，mf（8）=5m，
为使y≥12恒成立，只要$\left\{{\begin{array}{l}{8m≥12}\\{5m≥12}\end{array}}\right.$，
即$m≥\frac{12}{5}$，可得$m≥\frac{12}{5}$．
即：为了使在8小时之内达到有效，投放的药剂剂量m的最小值为$\frac{12}{5}$．
（2）m=2时，设$y=g（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4x+16，0＜x≤4\\-x-2{log_2}x+24，4＜x≤16\end{array}\right.$
当0＜x≤4时，16≤-x²+4x+16≤20，显然符合题意，
又f（x）在区间（4，16]上单调递减，
由g（6）=18-2log₂6=18-log₂36＞12，
g（7）=17-2log₂7=17-log₂49＜12，
可得 k≤6，即k的最大值为6．

点评本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，仔细分析数量间的相互关系，合理地进行等价转化．

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