Question

10．“十一黄金周”期间某市再次迎来了客流高峰，小李从该市的A地到B地有L₁、L₂两条路线（如图），L₁路线上有A₁、A₂、A₃三个路口，各路口遇到堵塞的概率均为$\frac{2}{3}$；L₂路线上有B₁、B₂两个路口，各路口遇到堵塞的概率依次为$\frac{3}{4}$、$\frac{3}{5}$．
（1）若走L₁路线，求最多遇到1次堵塞的概率；
（2）若走L₂路线，路上遇到的堵塞次数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）设走l₁路线最多遇到1次堵塞为A事件，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出走L₁路线，最多遇到1次堵塞的概率．
（2）依题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）设走l₁路线最多遇到1次堵塞为A事件，
则P（A）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{3}$+${C}_{3}^{1}×\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{7}{27}$，
∴走L₁路线，最多遇到1次堵塞的概率为$\frac{7}{27}$．
（2）依题意X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$（1-\frac{3}{4}）（1-\frac{3}{5}）$=$\frac{1}{10}$，
P（X=1）=$\frac{3}{4}×（1-\frac{3}{5}）+（1-\frac{3}{4}）×\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$，
P（X=2）=$\frac{3}{4}×\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$，
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{9}{20}$

∴E（X）=$\frac{1}{10}×0+\frac{9}{20}×1+\frac{9}{20}×2$=$\frac{27}{20}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．