Question

给出下列四个命题：
①已知函数f（x）=2^x+2^-x，则y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称；
②平面内的动点P到点F（-2，3）和到直线l：2x+y+1=0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线；
③若向量

a

，

b

满足

a

•

b

＜0，则

a

与

b

的夹角为钝角；
④存在x₀∈（1，2），使得（x₀²-3x₀+2）e x0+3x₀-4=0成立，
其中正确命题的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：①通过函数的奇偶性定义及图象特点，将其平移，即可判断；
②由抛物线的定义：到定点的距离等于到定直线的距离的动点轨迹是抛物线，必须是定点不在定直线上，即可判断；
③由数量积的定义可知，数量积小于0，可以两向量反向共线，即可判断；
④由函数的零点存在定理，验证f（1），f（2）的符号，即可判断．

解答： 解：①因为x∈R，f（-x）=2^-x+2^x=f（x），则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，
将其图象向右平移2个单位，得到y=f（x-2）的图象，则关于直线x=2对称．故①对；
②由于定点F（-2，3）在直线l：2x+y+1=0上，故点P的轨迹为过F且垂直于l的直线．故②错；
③若向量

a

，

b

满足

a

•

b

＜0，则

a

与

b

的夹角为钝角或

a

，

b

反向共线，故③错；
④令f（x）=（x²-3x+2）•e^x+3x-4，f（1）=（1-3+2）•e+3-4＜0，f（2）=（4-6+2）•e²+6-4＞0，
由函数的零点存在定理得，f（x）在（1，2）上至少有一个零点．故④对．
故选：C．

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查函数的图象平移和函数的对称性、函数的零点存在定理、向量的夹角和抛物线的定义，注意隐含条件，是一道基础题，也是易错题．