Question

已知a>0，函数f(x)＝－2asin(2x＋)＋2a＋b，当x∈[0，]时，－5≤f(x)≤1．

(1)求常数a，b的值；

(2)设g(x)＝f(x＋)且lg[g(x)]>0，求g(x)的单调区间．

 

Answer 1

（1）a＝2，b＝－5

（2）综上，g(x)的递增区间为(kπ，kπ＋](k∈Z)；递减区间为(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)．

【解析】【解析】
(1)∵x∈[0，]，

∴2x＋∈[，]．

∴sin(2x＋)∈[－，1]，

又∵a>0，

∴－2asin(2x＋)∈[－2a，a]．

∴f(x)∈[b,3a＋b]，

又∵－5≤f(x)≤1，

∴b＝－5,3a＋b＝1，

因此a＝2，b＝－5．

(2)由(1)得a＝2，b＝－5，

∴f(x)＝－4sin(2x＋)－1，

g(x)＝f(x＋)＝－4sin(2x＋)－1＝4sin(2x＋)－1，

又由lg[g(x)]>0，得g(x)>1，

∴4sin(2x＋)－1>1，

∴sin(2x＋)>，

∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，

其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ<x≤kπ＋，k∈Z，

∴g(x)的单调增区间为(kπ，kπ＋]，k∈Z．

又∵当2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，

即kπ＋<x<kπ＋，k∈Z．

∴g(x)的单调减区间为(kπ＋，kπ＋)，k∈Z．

综上，g(x)的递增区间为(kπ，kπ＋](k∈Z)；递减区间为(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)．