Question

13．如图所示，已知|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，点C在线段AB上，且∠AOC=30°，设$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），则m-n等于（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根据条件便可得出△AOB为Rt△，且∠AOB=90°，从而在Rt△AOB中，可求出∠OAB=60°，进而便得到$\overrightarrow{OC}⊥\overrightarrow{AB}$，从而$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AB}=0$，带入$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$进行数量积的运算便可得到3n-m=0．而由条件容易得出m+n=1，这两式联立即可解出m，n，从而便可求出m-n的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$；
∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$；
∴∠AOB=90°，且$|\overrightarrow{OA}|=1，|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{3}$；
∴$|\overrightarrow{AB}|=2$；
∴$cos∠OAB=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴∠OAB=60°；
又∠AOC=30°；
∴∠OCA=90°；
即$\overrightarrow{OC}⊥\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$
=$（m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}）•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$
=$m\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}-m{\overrightarrow{OA}}^{2}+n{\overrightarrow{OB}}^{2}-n\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$
=0-m+3n-0
=0；
即3n-m=0①；
∵$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，且A，C，B三点共线；
∴m+n=1②；
∴①②联立得，$m=\frac{3}{4}，n=\frac{1}{4}$；
∴$m-n=\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 考查向量垂直的充要条件，三角函数的定义，已知三角函数值求角，向量减法的几何意义，以及向量数量积的运算及计算公式，三点A，B，C共线的充要条件．