Question

已知直线l的参数方程为：

x=-2+tcosα y=tsinα

（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ-2cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程；
（Ⅱ）当α=

π

4

时，求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

考点：直线的参数方程,简单曲线的极坐标方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）根据极坐标和直角坐标的互化公式求得曲线C的直角坐标方程为 （x+1）²+（y-1）²=2；
（Ⅱ）当α=

π

4

时，直线l的方程为

x=-2+ 2 2 t y= 2 2 t

，化成普通方程，并和曲线C的方程联立方程组，求得它们的交点坐标，即可求直线l被曲线C截得的弦长．

解答： 解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ-2cosθ，可得ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=2y-2x，
标准方程为：（x+1）²+（y-1）²=2；
（Ⅱ）当α=

π

4

时，直线l的方程为

x=-2+ 2 2 t y= 2 2 t

，化成普通方程为y=x+2．
由

x2+y2=2y-2x y=x+2

，解得

x=0 y=2

，或

x=-2 y=0

．
∴直线l被曲线C截得的弦长为

4+4

=2

2

．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两个曲线的交点，属于基础题．