Question

已知向量

OA

，

OB

是夹角为60°的两个单位向量，点C，D满足

AC

=

.

CD

=

DB

，动点P满足

DP

•

OC

=0，且

OP

=x

OA

+y

OB

（x，y∈R），则xy的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：由

AC

=

.

CD

=

DB

，知C、D为线段AB的三等分点，从而可用向量

OA

，

OB

表示向量

OC

，

OD

，则

DP

•

OC

=0，可化为（

OP

-

OD

）•

OC

=0，即（x

OA

+y

OB

-

1

3

OA

-

2

3

OB

）•（

2

3

OA

+

1

3

OB

）=0，利用向量数量积运算整理可得5x+4y-

13

3

=0，消掉y可把xy化为x的二次函数，由二次函数性质可求答案．

解答： 解：∵

OA

，

OB

是夹角为60°的两个单位向量，
∴

OA

•

OB

=

1

2

，
∵

AC

=

.

CD

=

DB

，
∴C、D为线段AB的三等分点，

OC

=

OA

+

1

3

AB

=

OA

+

1

3

(

OB

-

OA

)=

2

3

OA

+

1

3

OB

，

OD

=

OA

+

2

3

AB

=

OA

+

2

3

(

OB

-

OA

)=

1

3

OA

+

2

3

OB

，
则

DP

•

OC

=0，即（

OP

-

OD

）•

OC

=0，
∴（x

OA

+y

OB

-

1

3

OA

-

2

3

OB

）•（

2

3

OA

+

1

3

OB

）=0，
∴5x+4y-

13

3

=0，
则xy=x（

13

12

-

5

4

x）=-

5

4

(x-

13

30

)2+

169

720

，
∴当x=

13

30

时xy取得最大值

169

720

，
故答案为：

169

720

．

点评：本题考查平面向量基本定理、向量数量积运算及二次函数的性质，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．