Question

【题目】已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，点，点在线段的中垂线上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于两点，直线与的倾斜角分别为，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（2）直线过定点，该定点的坐标为．

【解析】试题分析：（1）由已知得， ，解方程即可得解；

（2）设直线MN方程为y=kx+m，与椭圆联立得．设， ，，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线MN的方程为y=k（x-2），从而能证明直线MN过定点（2，0）．

试题解析：

（1）由椭圆的离心率得，其中，

∴，∴ 解得， ， ，

∴椭圆的方程为．

（2）由题意，知直线存在斜率，设其方程为．由

消去，得．设， ，

则，

即， ， .

且

由已知，得,即．

化简，得

∴整理得．

∴直线的方程为，因此直线过定点，该定点的坐标为．