Question

若双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的

1

3

，则该双曲线的离心率是（　　）

• A、

  3

  4

  2

• B、

  3

  5

  5

• C、2
• D、

  2 3

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：因为双曲线即关于两条坐标轴对称，又关于原点对称，所以任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，所以不妨利用点到直线的距离公式求（c，0）到y=

b

a

x的距离，再令该距离等于焦距的

1

3

，就可得到含b，c的齐次式，再把b用a，c表示，利用e=

c

a

即可求出离心率．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦点坐标为（c，0）（-c，0），渐近线方程为y=±

b

a

x
根据双曲线的对称性，任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，
求（c，0）到y=

b

a

x的距离，d=

bc

a2+b2

=b，
又∵焦点到一条渐近线的距离等于焦距的

1

3

，
∴b=

1

3

×2c，两边平方，得9b²=4c²，即9（c²-a²）=4c²，
∴5c²=9a²，∴e²=

9

5

，e=

3 5

5

故选B

点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，以及双曲线离心率的求法，求离心率关键是找到a，c的齐次式．