Question

14．已知△ABC中，AB+2AC=12，BC=6，点D为边BC的中点，则中线AD长的最小值为$\frac{3\sqrt{15}}{5}$．

Answer 1

分析 设AC=x，根据三角形的性质求出x的范围，先后在△ABC，△ABD中使用余弦定理得出AD关于x的函数，根据x的范围求出AD的最小值．

解答 解：设AC=x，则AB=12-2x，
由三角形的性质得$\left\{\begin{array}{l}{12-2x+x＞6}\\{12-2x-x＜6}\\{12-2x≥x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{12-2x+x＞6}\\{x-12+2x＜6}\\{x≥12-2x}\end{array}\right.$，
解得4≤x＜6．
在△ABC中，由余弦定理得cosB=$\frac{（12-2x）^{2}+36-{x}^{2}}{2•（12-2x）•6}$．
在△ABD中，由余弦定理得AD²=（12-2x）²+9-2•3•（12-2x）•cosB=$\frac{5}{2}{x}^{2}$-24x+63=$\frac{5}{2}$（x-$\frac{24}{5}$）²+$\frac{27}{5}$．
∴当x=$\frac{24}{5}$时，AD²取得最小值$\frac{27}{5}$．
∴AD的最小值为$\sqrt{\frac{27}{5}}$=$\frac{3\sqrt{15}}{5}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了余弦定理，解三角形的应用，属于中档题．