Question

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）经过点(

3

2

，1)，一个焦点是F（0，1）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若倾斜角为

π

4

的直线l与椭圆C交于A、B两点，且|AB|=

12 2

7

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）首先利用椭圆经过的点求得方程

1

a2

+

9 4

b2

=1，利用焦点的坐标建立a²-b²=1解方程组得椭圆方程．
（2）根据直线的倾斜角为

π

4

，社直线的方程为y=x+b联立

1

a2

+

9 4

b2

=1以弦长公式为突破口，解方程求的结果．

解答： 解：（1）椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）经过点(

3

2

，1)，
则：

1

a2

+

9 4

b2

=1  ①
椭圆的一个焦点是F（0，1）．
则a²-b²=1   ②
由①②得：a²=4  b²=3
椭圆C的方程：

y2

4

+

x2

3

=1③
（2）根据题意可知：设直线l的方程为：y=x+b④
联立③④得：

y2 4 + x2 3 =1 y=x+b

3（x+b）²+4x²=12
整理得：7x²+6bx+3b²-12=0
∴x1+x2=-

6b

7

  x1x2=

3b2-12

7

∵|AB|=

12 2

7

=

2

|x1-x2|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

解方程得：b=±2
直线l的方程为：y=x±2
故答案为：（1）

y2

4

+

x2

3

=1
（2）直线l的方程为：y=x±2

点评：本题考查的知识点：椭圆的方程的求法．直线方程的求法，弦长公式在直线与曲线相交中的应用，解一元二次方程及根和系数之间的关系．