Question

4．已知命题p：?x∈R，x²+kx+2k+5≥0；命题q：?k∈R，使方程$\frac{{x}^{2}}{4-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k-1}$=1表示焦点在x轴上的椭圆．
（1）若命题q为真命题，求实数k的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的定义求出k的范围即可；
（2）根据二次函数的性质求出p为真时的k的范围，结合p，q的真假，得到关于k的不等式组，解出即可．

解答 解：（1））∵方程$\frac{{x}^{2}}{4-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k-1}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-k＞0}\\{k-1＞0}\\{4-k＞k-1}\end{array}\right.$，解得：1＜k＜$\frac{5}{2}$，
故q：k∈（1，$\frac{5}{2}$）；
（2）∵?x∈R，x²+kx+2k+5≥0，
∴△=k²-4（2k+5）≤0，解得：-2≤k≤10，
故p为真时：k∈[-2，10]；
结合（1）q为真时：k∈（1，$\frac{5}{2}$）；
若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，
则p，q一真一假，
故$\left\{\begin{array}{l}{-2≤k≤10}\\{k≥\frac{5}{2}或k≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k＞10或k＜-2}\\{1＜k＜\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得：-2≤k≤1或$\frac{5}{2}$≤k≤10．

点评 本题考查了二次函数的性质、考查椭圆的定义以及复合命题的判断，是一道中档题．