Question

14．已知函数f（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[0，3]上有最大值5和最小值1．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若存在x∈[-1，3]使得方程|f（x）-2x|=t²-2t-8有解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）设$g（x）=\frac{f（x）}{x}$，若$g（{2^x}）+k•\frac{2}{2^x}-k≥0$在x∈[1，2]上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的对称轴方程，可得f（x）在[0，1]递减，在[1，3]上递增，即可得到最值，解方程可得a，b的值；
（Ⅱ）求出函数|f（x）-2x|的值域，即可得到关于t的不等式组，解得即可，
（Ⅲ）设2^x=m，则m∈[2，4]，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=ax²-2ax+1+b=a（x-1）²+1+b-a，
∵a＞0，开口向上，对称轴x=1，
∴f（x）在[0，1]递减，在[1，3]上递增，
∴f（x）_min=f（1）=a-2a+1+b=1，f（x）_max=f（3）=9a-6a+1+b=5，
∴a=1，b=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x²-2x+2，
∴f（x）-2x=x²-4x+2=（x-2）²-2，
对称轴x=2，
∴f（x）-2x在[-1，2]递减，在[2，3]上递增，
∴最小值为-2，最大值为7，
∴|f（x）-2x|∈[0，7]，
∵方程|f（x）-2x|=t²-2t-8有解，
∴0≤t²-2t-8≤7，
解得-3≤t≤-2或4≤t≤5，
故t的范围为[-3，-2]∪[4，5]，
（Ⅲ）g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{2}{x}$-2，
设2^x=m，
∵x∈[1，2]，
∴m∈[2，4]，
∵$g（{2^x}）+k•\frac{2}{2^x}-k≥0$在x∈[1，2]上恒成立，
∴m+$\frac{2k}{m}$-k≥0．在m∈[2，4]上恒成立，
∴当m=2时，2≥0恒成立，
当m≠2时，k≤$\frac{{m}^{2}}{m-2}$，
设h（m）=$\frac{{m}^{2}}{m-2}$
∴h′（m）=$\frac{m（m-4）}{（m-2）^{2}}$≤0，在[2，4]上恒成立，
∴h（m）在[2，4]上单调递减，
∴h（m）_min=h（4）=8，
∴k≤8

点评 本题考查了二次函数的性质以及参数的取值范围和恒成立的问题，属于中档题