Question

f（x）=lnx-ax+2a-1，若x∈（0，1]，

a-1

x

≤f（x）恒成立，求a取值范围

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：先求出函数f（x）的定义域，然后将“

a-1

x

≤f（x）恒成立”转化为“a（x²-2x+1）≤xlnx-x+1恒成立”，然后分x=1和0＜x＜1两种情况分离参数a，构造函数，研究其最值求出a的范围，注意．

解答： 解：由题意，要使x∈（0，1]，

a-1

x

≤f（x）恒成立，
只需a（x²-2x+1）≤xlnx-x+1，x∈（0，1]恒成立即可，
当x=1时，上式为0≤0恒成立，故此时a∈R；
当0＜x＜1时，上式化为a≤

xlnx-x+1

(x+1)2

，x∈（0，1）恒成立，
令g(x)=

xlnx-x+1

(x+1)2

，则g′(x)=

(x-1)(2-lnx)

x+1

，因为0＜x＜1，所以lnx＜0，所以2-lnx＞0，
所以g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上递减，所以当0＜x＜1时，g（x）≤g（1）=0（事实上取不到g（1）），
故此时a≤0为所求；
综上可知，a≤0为所求的范围．
故答案为（-∞，0]．

点评：本题考查了不等式恒成立条件下参数范围的求法，一般是通过分离参数，然后求函数的最值解决问题，要注意导数在求函数单调性时的应用．