Question

4．已知函数f（x）=x²+ax+sin$\frac{π}{2}$x（x∈（0，1））在定义域内单调递增，则a的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{π}{2}$，+∞）
• B． （-∞，-$\frac{π}{2}$]
• C． （-∞，0]
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 函数f（x）在定义域内单调递增，则导函数f′（x）≥0恒成立，然后问题转化为函数的最值问题求解．

解答 解：由f（x）=x²+ax+sin$\frac{π}{2}$x，得
f′（x）=2x+a+$\frac{π}{2}•$cos$\frac{π}{2}$x，
∵函数f（x）=x²+ax+sin$\frac{π}{2}$x在（0，1）内单调递增，
∴f′（x）=2x+a+$\frac{π}{2}•$cos$\frac{π}{2}$x≥0在（0，1）内恒成立，
即a≥-2x-$\frac{π}{2}•cos\frac{π}{2}x$在（0，1）内恒成立．
令g（x）=-2x-$\frac{π}{2}•cos\frac{π}{2}x$，则g′（x）=-2+$\frac{{π}^{2}}{4}$sin$\frac{π}{2}x$，
∵g′（x）在（0，1）上递增，且g′（0）＜0，g′（1）＞0，
∴g′（x）在区间（0，1）上存在唯一零点m．
∴g（x）在（0，m）上递减，在（m，1）上递增．
由$\left\{\begin{array}{l}{a≥g（0）}\\{a≥g（1）}\end{array}\right.$，a$≥-\frac{π}{2}$，
∴a的取值范围是[-$\frac{π}{2}$，+∞）．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、通过构造函数研究函数的单调性解决问题的方法，考查了转化能力、推理能力与计算能力，属于难题．