Question

当x∈（-2，-1）时，不等式x⁴+mx²+1＜0恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：令t=x²，由于x∈（-2，-1），则t∈（1，4），则不等式x⁴+mx²+1＜0恒成立，即为f（t）=t²+mt+1＜0在（1，4）恒成立，则有f（1）≤0且f（4）≤0，解得即可．

解答： 解：令t=x²，由于x∈（-2，-1），则t∈（1，4），
则不等式x⁴+mx²+1＜0恒成立，即为t²+mt+1＜0在（1，4）恒成立，
则由于抛物线f（t）=t²+mt+1，开口向上，则有f（1）≤0且f（4）≤0，
即为m+2≤0且17+4m≤0，即有m≤-2且m≤-

17

4

，
解得，m≤-

17

4

．
故答案为：（-∞，-

17

4

]．

点评：本题考查可化为二次不等式的恒成立问题，考查二次函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．