Question

已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）²
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，若对任意x₁x_{2∈（-1，+∞）}，都有f（x₁-f（x₂）|≥3|x₁-x₂|，求a的取值范围、

Answer 1

解：由题可知f（x）的定义域为（-1，+∞），
（i）当a≥0时，因为函数f（x）₁=aln（x+1）和f（x）₂=（x+1）²在（-1，+∞）上均为增函数，
故f（x）=aln（x+1）+（x+1）²在（-1，+∞）上均为增函数；
（ii）a＜0时，f′（x）=+2（x+1），
令f′（x）=0，得x₁=-1+，x₂=-1-（舍），
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

由表可知，f（x）的单调减区间为（0，-1+），f（x）的单调增区间为（-1+，+∞）
综上，当a≥0时，f（x）=aln（x+1）+（x+1）²在（-1，+∞）上均为增函数，
当a＜0时，f（x）的单调减区间为（0，-1+），f（x）的单调增区间为（-1+，+∞）；
（2）不妨设x₁＜x₂，则所证的式子化为：f（x₂）-f（x₁）≥3（x₂-x₁），即f（x₂）-3x₂≥f（x₁）-3x₁，
令F（x）=f（x）-3x=aln（x+1）+x²-x+1，则F（x）在（-1，+∞）上为增函数．
即F'（x）=+2x-1≥0在（-1，+∞）上恒成立，因为x＞-1，所以a≥-2x²-x+1在（-1，+∞）上恒成立，
而二次函数-2x²-x+1在（-∞，-）上单调递增，在（-，+∞）上单调递减，
故在（-1，+∞）上的最大值为-2（--（-）+1=，
所以a≥，
故a的取值范围是[，+∞]．
分析：根据负数没有对数，得到函数f（x）的定义域，
（1）（i）当a大于等于0时，因为函数aln（x+1）与（x+1）²在x大于等于-1时都为增函数，所以单调f（x）也为增函数；（ii）当a小于0时，求出f（x）的导函数，令导函数等于单调x的值，在函数定义域内由x的值讨论导函数的正负进而得到函数的单调区间，综上，分a大于等于0和a小于0两种情况写出函数的单调区间即可；
（2）设x₁小于x₂，把所证的式子化简，得到f（x₂）-3x₂≥f（x₁）-3x₁，令F（x）=f（x）-3x，进而单调F（x）在x大于-1为增函数，即导函数恒大于等于0，由导函数解出a大于等于一个二次函数，根据x的范围求出二次函数的最大值，即可得到a的取值范围．
点评：此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握导数在最大值、最小值中的应用，掌握不等式恒成立时所满足的条件，考查了转化的数学思想，是一道中档题．