Question

已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：

①f(0)f(1)>0； ②f(0)f(1)<0；

③f(0)f(3)>0； ④f(0)f(3)<0.

其中正确结论的序号是________．

 

Answer 1

②③

【解析】∵f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，

由f′(x)<0，得1<x<3，

由f′(x)>0，

得x<1或x>3，

∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．

又a<b<c，f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，

∴y极大值＝f(1)＝4－abc>0，

y极小值＝f(3)＝－abc<0.

∴0<abc<4.

∴a，b，c均大于零，或者a<0，b<0，c>0.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．

∴f(0)<0.∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.∴正确结论的序号是②③.