Question

已知函数f(x)＝ax＋x2－xln a(a>0，a≠1)．

(1)求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)求函数f(x)的单调增区间；

(3)若存在x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围．

 

Answer 1

（1）y＝1

（2）(0，＋∞)

（3）

【解析】【解析】
(1)因为函数

f(x)＝ax＋x2－xln a(a>0)，a≠1)，

所以f′(x)＝ax ln a＋2x－ln a，

f′(0)＝0，又因为f(0)＝1，

所以函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.

(2)由(1)知f′(x)＝axln a＋2x－ln a

＝2x＋(ax－1)ln a.

因为当a>0，a≠1时，总有f′(x)在R上是增函数，又f′(0)＝0，所以不等式f′(x)>0的解集为(0，＋∞)，故函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．

(3)因为存在x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1成立，而当x1，x2∈[－1,1]时，|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min，所以只要f(x)max－f(x)min≥e－1即可．当x变化时，f′(x) ，f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，0)	0	(0，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)	?	极小值	?

 

所以f(x)在[－1,0]上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当x∈[－1,1]时，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝1，f(x)的最大值f(x)max为f(－1)和f(1)中的最大值．

f(1)－f(－1)

＝(a＋1－ln a)－

＝a－－2ln a.

令g(a)＝a－－2ln a(a>0)，

因为g′(a)＝1＋－＝2≥0，

所以g(a)＝a－－2ln a在a∈(0，＋∞)上是增函数.

而g(1)＝0，故当a>1时，g(a)>0，

即f(1)>f(－1)；

当0<a<1时，g(a)<0，即f(1)<f(－1)．

所以当a>1时，f(1)－f(0)≥e－1，即a－ln a≥e－1，易得函数y＝a－ln a在a∈(1，＋∞)上是增函数，解得a≥e；

当0<a<1时，f(－1)－f(0)≥e－1，

即＋ln a≥e－1，易得函数y＝＋ln a在a∈(0,1)上是减函数，解得0<a≤.

综上可知，实数a的取值范围为.