Question

已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)2，a，b是常数．

(1)若a≠b，求证：函数f(x)存在极大值和极小值；

(2)设(1)中f(x)取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1，x2，设点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))．如果直线AB的斜率为－，求函数f(x)和f′(x)的公共递减区间的长度；

(3)若f(x)≥mxf′(x)对于一切x∈R恒成立，求实数m，a，b满足的条件．

 

Answer 1

（1）见解析 （2）公共减区间为或，长度均为

（3）m＝，a＝b≤0.

【解析】【解析】
(1)证明：

f′(x)＝(x－b)[3x－(2a＋b)]，

因为a≠b，所以b≠，

所以f′(x)＝0有两个不等实根b和，

所以f(x)存在极大值和极小值．

(2)①当a＝b时，f(x)不存在减区间；

②当a>b时，由(1)知x1＝b，x2＝，

所以A(b,0)，B，

所以＝－，

即4(a－b)3＝9(a－b)，

所以a－b＝或a－b＝－(舍去)；

③当a<b时，x1＝，x2＝b.

同理可得a－b＝－或a－b＝(舍去)．

综上，a>b且a－b＝或a<b且a－b＝－.

所以f(x)的减区间为，即(b，b＋1)或f(x)的减区间为，即(b－1，b)；

f′(x)的减区间为或.

所以公共减区间为或，长度均为.

(3)由题意f(x)≥mxf′(x)，

所以(x－a)(x－b)2≥mx(x－b)[3x－(2a＋b)]，

所以(x－b){(1－3m)x2＋[m(2a＋b)－(a＋b)]x＋ab}≥0.

若m≠，则左边是一个一次因式乘一个恒正(或恒负)的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负．

所以m＝，

所以(x－b)[(a＋2b)x－3ab]≤0.

若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a＝b＝0；

若a＋2b≠0，则x1＝b，x2＝，

所以

①若b＝0，则a<0；

②若b≠0，则＝1，所以a＝b且b<0.

综上，m＝，a＝b≤0.