Question

7．设点O是边长为1的正△ABC的中心（如图所示），则（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）=（　　）

• A． $\frac{1}{9}$
• B． -$\frac{1}{9}$
• C． -$\frac{1}{6}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 根据三角形的重心的性质及向量加法平行四边形法则、向量数乘的几何意义便可得出$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CB}）$，从而根据条件进行向量数量积的运算即可求出$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）$的值．

解答 解：根据重心的性质，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CB}）=\frac{1}{3}（\overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CB}）$；
又$|\overrightarrow{CA}|=|\overrightarrow{CB}|=1，∠BCA=60°$；
∴$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）$=$\frac{1}{9}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）•（\overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CB}）$
=$\frac{1}{9}（{\overrightarrow{CA}}^{2}-\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}-2{\overrightarrow{CB}}^{2}）$
=$\frac{1}{9}（1-\frac{1}{2}-2）$
=$-\frac{1}{6}$．
故选C．

点评 考查三角形重心的概念及性质，等边三角形的概念，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，向量数量积的运算及计算公式．