Question

已知凼数f（x）=

3x2+2ax-a-6，x＜0 3x2-(a+3)x+a，x≥0

．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）若-3≤a≤0且存在三个不同的实数x₁，x₂，x₃，使得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），求证：x₁+x₂+x₃≥-

2

+1．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出a=1的解析式，分别求得x＜0和x≥0时的最小值，即可得到；
（2）作出-3≤a≤0时f（x）的图象，分别判断x＜0和x≥0时的单调性，不妨设x₁＜x₂＜x₃，则有x₂+x₃=2×

a+3

6

=

a+3

3

，即有x₁+x₂+x₃=x₁+

a+3

3

，再由x=0时的函数值，解方程可得小于0的x₁，再由a的范围，即可得证．

解答： （1）解：当a=1时，f（x）=

3x2+2x-7，x＜0 3x2-4x+1，x≥0

，
当x＜0时，y=3x²+2x-7=3（x+

1

3

）²-

22

3

，在x=-

1

3

时取得最小值，
且为-

22

3

；
当x≥0时，y=3x²-4x+1=3（x+

2

3

）²-

1

3

，在[0，+∞）递增，则x=0时，取得最小值，且为1．
综上可得f（x）的最小值为-

22

7

．
（2）证明：作出-3≤a≤0时f（x）的图象，如右．
当x＜0时，f（x）递减，x≥0时，在[0，

a+3

6

）递减，
在（

a+3

6

，+∞）递增，
不妨设x₁＜x₂＜x₃，则有x₂+x₃=2×

a+3

6

=

a+3

3

，
即有x₁+x₂+x₃=x₁+

a+3

3

，
令x=0时，f（0）=a，
令f（x₁）=a，（x₁＜0），
则有3x²+2ax-2a-6=0，
解得x=

-2a± 4(a2+6a+18)

6

=

-a± (a+3)2+9

3

，
由于-3≤a≤0，则x₁=

-a- (a+3)2+9

3

，
即有x₁+x₂+x₃=1-

(a+3)2+9

3

，
由-3≤a≤0，则（a+3）²+9∈[9，18]，
则有

(a+3)2+9

3

∈[1，

2

]，
即有x₁+x₂+x₃≥1-

2

．

点评：本题考查分段函数的运用，考查二次函数的最值的求法，同时考查二次函数的单调性的运用，通过图象观察得到交点是解题的关键．