Question

已知函数f（x）=e^x-x．
（1）若函数g（x）=f（x）-ax²-1的导函数g′（x）在[0，+∞）上是增函数，求实数a的最大值；
（2）证明在（1）的条件下，当a取最大值时，有f（x）≥

1

2

x²+1（x∈[0，+∞））
（3）证明：f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

n+1

）＞n[1+

1

4(n+2)

]（n∈N^*）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由g′（x）=（e^x-1）-2ax在[0，+∞）上是增函数知g″（x）=e^x-2a≥0在[0，+∞）上恒成立，得a≤（

1

2

e^x）_min，而（

1

2

e^x）_min=

1

2

，从而求出a的最大值；
（2）由（1）知g′（0）=0，且当a=

1

2

时，g′（x）在[0，+∞）上是增函数，得f（x）≥

1

2

x²+1，（x∈[0，+∞）），
（3）在上式中分别令x=

1

2

，

1

3

，…

1

n+1

并相加得f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

n+1

）≥n+

1

2

[(

1

2

)2+(

1

3

)2+…+(

1

n+1

)2]，得n+

1

2

[(

1

2

)2+(

1

3

)2+…+(

1

n+1

)2]＞n+

1

2

[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）]=n+

1

2

（

1

2

-

1

n+2

）=n[1+

1

4(n+2)

]，从而问题得证．

解答： 解：（1）由g′（x）=（e^x-1）-2ax在[0，+∞）上是增函数
知g″（x）=e^x-2a≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴a≤

1

2

e^x在[0，+∞）上恒成立
∴a≤（

1

2

e^x）_min，x∈[0，+∞），
∵函数

1

2

e^x在[0，+∞）上单调递增，
∴（

1

2

e^x）_min=

1

2

e⁰=

1

2

，
∴a≤

1

2

，
∴a的最大值为

1

2

．
（2）由（1）知g′（0）=0，且当a=

1

2

时，g′（x）在[0，+∞）上是增函数
∴g′x）≥g′（0）=0，
即函数g（x）在[0，+∞）上为增函数，且g（0）=0，
∴g（x）=f（x）-

1

2

x²-1≥g（0）=0，
即f（x）≥

1

2

x²+1，（x∈[0，+∞）），
（3）在上式中分别令x=

1

2

，

1

3

，…

1

n+1

并相加得
f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

n+1

）≥n+

1

2

[(

1

2

)2+(

1

3

)2+…+(

1

n+1

)2]，
∵

1

(n+1)2

＞

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴n+

1

2

[(

1

2

)2+(

1

3

)2+…+(

1

n+1

)2]
＞n+

1

2

[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）]
=n+

1

2

（

1

2

-

1

n+2

）=n[1+

1

4(n+2)

]，
即f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

n+1

）＞n[1+

1

4(n+2)

]．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．