【题目】某处有一块闲置用地,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧和两条线段,构成.已知圆心O在线段上,现测得圆O半径为2百米,,.现规划在这片闲置用地内划出一片梯形区域用于商业建设,该梯形区域的下底为,上底为,点M在圆弧(点D在圆弧上,且)上,点N在圆弧上或线段上.设.
(1)将梯形的面积表示为的函数;
(2)当为何值时,梯形的面积最大?求出最大面积.
【答案】(1)(2)当时,梯形的面积取得最大值平方百米.
【解析】
(1)结合点N的位置分析角相应的取值范围,分情况讨论即可求解;
(2)根据(1)的函数,利用导数研究单调性即可求解函数的最大值.
(1)因为点M在圆弧上,,当点M分别与点A,D重合时,梯形不存在,
所以.
过点B作,且交圆弧于点,连结,因为,所以.
由垂径定理可知垂直平分,
因此,,
因此,当时,点N在圆弧上,当上时,点N在线段上.
设,
①当时,因为,所以.
又,所以.
由垂径定理可知,在中,,
,
因为,所以在中,,,
所以梯形的面积
;
②当时,因为,,,
所以四边形为矩形,故,
所以梯形的面积
.
综上,
(2)①当时,,
.
因为时,,
所以,
故在上单调递减,.
②当时,,
.
因为时,,
所以,
故在上单调递增,.
综上,当且仅当时,梯形的面积取得最大值平方百米.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(a或t为参数).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ(cosθsinθ)=1.
(1)当t为参数,α时,判断曲线C与直线l的位置关系;
(2)当α为参数,t=2时,直线l与曲线C交于A,B两点,设P(1,0),求的值.
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【题目】随着生活节奏的加快以及智能手机的普及,外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯,由此催生了一批外卖点餐平台.已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关(该平台只给5千米范围内配送),为调査送餐员的送餐收入,现从该平台随机抽取100名点外卖的用户进行统计,按送餐距离分类统计结果如表:
送餐距离(千米) | (0,1] | (1,2] | (2,3] | (3,4] | (4,5] |
频数 | 15 | 25 | 25 | 20 | 15 |
以这100名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率.
(1)若某送餐员一天送餐的总距离为100千米,试估计该送餐员一天的送餐份数;(四舍五入精确到整数,且同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
(2)若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关,规定2千米内为短距离,每份3元,2千米到4千米为中距离,每份7元,超过4千米为远距离,每份12元.记X为送餐员送一份外卖的收入(单位:元),求X的分布列和数学期望.
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【题目】某城市对一项惠民市政工程满意程度(分值:分)进行网上调查,有2000位市民参加了投票,经统计,得到如下频率分布直方图(部分图):
现用分层抽样的方法从所有参与网上投票的市民中随机抽取位市民召开座谈会,其中满意程度在的有5人.
(1)求的值,并填写下表(2000位参与投票分数和人数分布统计);
满意程度(分数) | |||||
人数 |
(2)求市民投票满意程度的平均分(各分数段取中点值);
(3)若满意程度在的5人中恰有2位为女性,座谈会将从这5位市民中任选两位发言,求男性甲或女性乙被选中的概率.
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【题目】2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控,这标志着封城76天的武汉打开城门了.在疫情防控常态下,武汉市有序复工复产复市,但是仍然不能麻痹大意,仍然要保持警惕,严密防范、慎终如始.为科学合理地做好小区管理工作,结合复工复产复市的实际需要,某小区物业提供了,两种小区管理方案,为了了解哪一种方案最为合理有效,物业随机调查了50名男业主和50名女业主,每位业主对,两种小区管理方案进行了投票(只能投给一种方案),得到下面的列联表:
方案 | 方案 | |
男业主 | 35 | 15 |
女业主 | 25 | 25 |
(1)分别估计,方案获得业主投票的概率;
(2)判断能否有95%的把握认为投票选取管理方案与性别有关.
附:.
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【题目】高铁是我国国家名片之一,高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示,B、E、F为山脚两侧共线的三点,在山顶A处测得这三点的俯角分别为、、,计划沿直线BF开通穿山隧道,现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.
(1)求出线段AE的长度;
(2)求出隧道CD的长度.
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【题目】如图,在四棱柱中,四边形ABCD是边长等于2的菱形,,平面ABCD,O,E分别是,AB的中点,AC交DE于点H,点F为HC的中点
(1)求证:平面;
(2)若OF与平面ABCD所成的角为60°,求三棱锥的表面积.
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【题目】CES是世界上最大的消费电子技术展,也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES消费电子展于2020年1月7日—10日在美国拉斯维加斯举办.在这次CES消费电子展上,我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机,惊艳了全场.若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这3名员工的工作视为相同的工作),再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能,若其中甲和乙至多有1人负责接待工作,则不同的安排方案共有__________种.
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【题目】如图①,在等腰梯形中,,,.,交于点.将沿线段折起,使得点在平面内的投影恰好是点,如图.
(1)若点为棱上任意一点,证明:平面平面.
(2)在棱上是否存在一点,使得三棱锥的体积为?若存在,确定点的位置;若不存在,请说明理由.
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