Question

已知函数f（x）=1+2

3

sin（π-x）cosx-2cosxsin（

π

2

-x）
（1）求函数f（x）的解析式及f（x）的周期；
（2）求f（x）在区间[0，

3π

4

]内的单调递减区间及值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用诱导公式、两角和差的正弦公式、周期性的公式即可得出；
（2）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=1+2

3

sin（π-x）cosx-2cosxsin（

π

2

-x）
=1+2

3

sinxcosx-2cos2x
=

3

sin2x-cos2x
=2sin(2x-

π

6

)，
∴T=

2π

2

=π．
（2）由x∈[0，

3π

4

]，可得-

π

6

≤2x-

π

6

≤

4π

3

，
由

π

2

≤2x-

π

6

≤

4π

3

，
解得

π

3

≤x≤

3π

4

．
∴f（x）在区间[0，

3π

4

]内的单调递减区间为[

π

3

，

3π

4

]．
∴-

3

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1．
∴函数f（x）的值域为[-

3

，2]．

点评：本题考查了诱导公式、两角和差的正弦公式、周期性的公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．