Question

7．已知f（x）=||x|-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤3的解集A；
（Ⅱ）当m，n∈A时，证明：4|m+n|≤|mn+16|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）去掉绝对值，即可求不等式f（x）≤3的解集A；
（Ⅱ）当m，n∈A时，利用分析法即可证明：4|m+n|≤|mn+16|．

解答 （ I）解：f（x）≤3即||x|-1|≤3⇒-3≤|x|-1≤3⇒-2≤|x|≤4…（2分）
解得：-4≤x≤4，所以A=[-4，4]…（4分）
（ II）证明：要证4|m+n|≤|mn+16|即证（4（m+n））²≤（mn+16）²…（6分）
因为 （4（m+n））²-（mn+16）²=16m²+16n²-m²n²-256=（m²-16）（16-n²）…（8分）
因为m，n∈A，所以m²≤16，n²≤16（m²-16）（16-n²）≤0
所以，[4（m+n）]²≤（mn+16）²
所以，4|m+n|≤|mn+16|…（10分）

点评 本题考查不等式的证明，考查分析法的综合运用，属于中档题．