Question

5．（1）求函数f（x）=$\frac{\sqrt{4-x}}{x-1}$的定义域．
（2）若f（x-1）=x²+2x+3，求f（x）的解析式．
（3）求函数f（x）=x²-2x+3在[0，3]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）根式下变量要大于等于0，且分母不能为0；
（2）利用换元法求函数解析式；
（3）判断一元二次函数的对称轴是否在给定区间内，结合函数图形来求出最值；

解答 解：（1）由题意知：$\left\{\begin{array}{l}{4-x≥0}\\{x-1≠0}\end{array}\right.$⇒{x|x≤4且x≠1}
故f（x）的定义域为：{x|x≤4且x≠1}
（2）已知f（x-1）=x²+2x+3
令t=x-1，t∈R⇒x=t+1；
换元后得：f（t）=（t+1）²+2（t+1）+3⇒f（t）=t²+4t+6
故f（x）的解析式为：f（x）=x²+4x+6；
（3）已知f（x）=x²-2x+3
f（x）的对称轴为：x=1且开口朝上，x=1在区间[0，3]内；
所以f（x）的最小值为f（1）=2，最大值为f（3）=6．

点评 本题主要综合考查函数的定义域，解析式求法以及一元二次函数的最值，属基础题．