Question

7．已知空间四边形ABCD中，AB=BD=AD=2，BC=1，CD=$\sqrt{3}$，若二面角A-BD-C的取值范围为[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]，则该几何体的外接球表面积的取值范围为[$\frac{28π}{3}，\frac{76π}{3}$]．

Answer 1

分析 设H为等边△ADB的中心，DB中点O₁为△BCD外接圆的圆心，
过H作面ABD的垂线，过O₁作面DCB的垂线，两垂线的交点O为空间四边形ABCD外接球球心，
过O₁在面DCB内作DB的垂线交△BCD外接圆于E，F，过点O，E，F作圆的截面圆，则点A在其圆周上；
易得∠AO₁E面角A-BD-C的平面角．在Rt△OO₁H中，可得$O{O}_{1}=\frac{{O}_{1}H}{cos∠H{O}_{1}O}$，外接球的半径R=$\sqrt{O{{O}_{1}}^{2}+{O}_{1}{B}^{2}}$∈[$\sqrt{\frac{7}{3}}$.$\sqrt{\frac{19}{3}}$]，即可求解

解答 解：因为CD²+CB²=DB²，所以△DCB为Rt△，
设H为等边△ADB的中心，DB中点O₁为△BCD外接圆的圆心，
过H作面ABD的垂线，过O₁作面DCB的垂线，两垂线的交点O为空间四边形ABCD外接球球心，
过O₁在面DCB内作DB的垂线交△BCD外接圆于E，F，过点O，E，F作圆的截面圆，则点A在其圆周上；
易得∠AO₁E面角A-BD-C的平面角．
在Rt△OO₁H中，可得$O{O}_{1}=\frac{{O}_{1}H}{cos∠H{O}_{1}O}$
∵二面角A-BD-C的取值范围为[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]，即cos∠HO₁O$∈[\frac{1}{2}，1]$．
∵$H{O}_{1}=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\frac{2\sqrt{3}}{3}$∴$O{O}_{1}∈[\frac{2\sqrt{3}}{3}，\frac{4\sqrt{3}}{3}$]
外接球的半径R=$\sqrt{O{{O}_{1}}^{2}+{O}_{1}{B}^{2}}$∈[$\sqrt{\frac{7}{3}}$.$\sqrt{\frac{19}{3}}$]
则该几何体的外接球表面积的取值范围为[$\frac{28π}{3}，\frac{76π}{3}$]
故答案为：[$\frac{28π}{3}，\frac{76π}{3}$]

点评 本题考查了三棱锥的外接球的表面积，解题的关键是找到球心，求出半径，考查了转化思想、计算能力，属于中档题