Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1两焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=1，过P作两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．
（1）求P点坐标；
（2）若直线AB的斜率为$\sqrt{2}$，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设出P的坐标，则可分别表示出向量，通过向量的数量积，求得x₀和y₀的关系，同时根据椭圆的方程，求得x₀和y₀即P的坐标．
（2）设出直线的方程联立椭圆方程，可求出AB的距离，得到直线AB的距离，利用三角形的面积公式，通过基本不等式求解最值即可．

解答 解：（1）由题意得：c=$\sqrt{2}$，则F₁（0，$\sqrt{2}$），F₂（0，-$\sqrt{2}$），设P（x₀，y₀）
则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-x₀，$\sqrt{2}$-y₀），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-x₀，-$\sqrt{2}$-y₀），
由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=1，得：x₀²-2+y₀²=1?x₀²+y₀²=3
又2x₀²+y₀²=4，x₀，y₀＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1}\\{{y}_{0}=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，即所求P（1，$\sqrt{2}$）
（3）设AB方程为：y=$\sqrt{2}x$+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，可得4x²+2$\sqrt{2}$mx+m²-4=0，△=8m²-18m²+64＞0，解得-2$\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=$-\frac{\sqrt{2}}{2}m$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{4}$，
|AB|=$\sqrt{1+（\sqrt{2}）^{2}}$$•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{3（4-\frac{1}{2}{m}^{2}）}$．P到AB的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{3}}$，
则${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|AB|d$=$\frac{1}{2}\sqrt{（4-\frac{1}{2}{m}^{2}）3}•\frac{|m|}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{\frac{1}{8}{m}^{2}（-{m}^{2}+8）}$$≤\sqrt{\frac{1}{8}（\frac{{m}^{2}-{m}^{2}+8}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$当且仅当m=±2∈（-2$\sqrt{2}，2\sqrt{2}$）时取得最大值．
△PAB面积的最大值为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．