Question

2．某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：

AQI	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，300]	＞300
空气质量	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染
天数	6	14	18	27	20	15

（1）若空气质量为严重污染则企业必须放假，试估计一年中（以360天计算）企业因为空气严重污染放假的天数；
（2）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为
y=$\left\{\begin{array}{l}{0，0≤x≤100}\\{4x-400，100＜x≤300}\\{2000，x＞300}\end{array}\right.$
1）若在本年内随机抽取一天，试估计这一天的经济损失超过400元的概率；
2）若以区间中点值计算空气质量指数，试估计一年中（以360天计算）企业因空气污染原因造成的经济损失是多少元．

Answer 1

分析 （1）由某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数（AQI）的监测数据结果统计表，知空气质量为严重污染的天数为15天，由此能估计一年中（以360天计算）企业因为空气严重污染放假的天数．
（2）1）y＞400时，4x-400＞400，或x＞300，从而x＞200，由此能求出在本年内随机抽取一天，估计这一天的经济损失超过400元的概率．
2）任选一天，设该天经济损失为X元，则X的可能取值为0，100，300，600，2000，分别求出相应的概率，能求出E（X），由此能求出估计一年中（以360天计算）企业因空气污染原因造成的经济损失．

解答 解：（1）由某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数（AQI）的监测数据结果统计表，
知空气质量为严重污染的天数为15天，
∵空气质量为严重污染则企业必须放假，
∴估计一年中（以360天计算）企业因为空气严重污染放假的天数为：
360×$\frac{15}{100}$=54（天）．
（2）1）∵y=$\left\{\begin{array}{l}{0，0≤x≤100}\\{4x-400，100＜x≤300}\\{2000，x＞300}\end{array}\right.$，
∴y＞400时，4x-400＞400，或x＞300，
解得x＞200，
∵x＞200所占的频率为p=$\frac{20+15}{100}$=0.35．
∴在本年内随机抽取一天，估计这一天的经济损失超过400元的概率为0.35．
2）任选一天，设该天经济损失为X元，
则X的可能取值为0，100，300，600，2000，
P（X=0）=$\frac{6+14}{100}$=0.2，
P（X=100）=$\frac{18}{100}$=0.18，
P（X=300）=$\frac{27}{100}$=0.27，
P（X=600）=$\frac{20}{100}$=0.2，
P（X=2000）=$\frac{15}{100}$=0.15，
∴E（X）=0×0.2+100×0.18+300×0.27+600×0.2+2000×0.15=519，
∴估计一年中（以360天计算）企业因空气污染原因造成的经济损失是：
360E（X）=360×519=186840元．

点评 本题考查概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．