Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₁=2，S_n+1=3S_n+2．
（Ⅰ）求通项公式a_n；
（Ⅱ）设b_n=

an

S 2 n

，求证：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用S_n+1=3S_n+2，推出{S_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，求出通项公式，然后求解a₁，n＞1时，利用a_n=S_n-S_n-1，即可求通项公式a_n；
（Ⅱ）化简b_n=

an

S 2 n

，通过裂项法求和，得到b₁+b₂+…+b_n与1的大小即可．

解答： （Ⅰ）解：∵S_n+1=3S_n+2，∴S_n+1+1=3（S_n+1）．
 又∵S₁+1=3，∴{S_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴Sn=3n-1，n∈N*．
 n=1时，a₁=S₁=2，n＞1时，an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=3^n-1（3-1）=2×3^n-1．
故an=2×3n-1，n∈N*．
（Ⅱ）证明：∵bn=

2×3n-1

(3n-1)2

＜

2×3n-1

(3n-1-1)(3n-1)

=

1

3n-1-1

-

1

3n-1

，(n＞1)
∴b1+b2+…+bn＜

1

2

+(

1

31-1

-

1

32-1

)+(

1

32-1

-

1

33-1

)+…+(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)=

1

2

+

1

2

-

1

3n-1

＜1．

点评：本题考查数列的求和，裂项法的应用，数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．