Question

12．设直线l：（a+1）x+y+2-a=0，（a∈R）
（1）求证：对任意实数a，该直线恒过一定点；
（2）当直线l与圆x²+y²=16相交截得的弦长最小时，求此时a的值及弦长的最小值．

Answer 1

分析 （1）把直线的方程分离参数，令参数的系数等于0，求得x、y的值，可得此直线经过的定点的坐标．
（2）当直线l过定点M（1，-3）且垂直于过该点的圆O的半径时，l被截得的弦长最短．

解答 （1）证明：直线（a+1）x+y+2-a=0，即 a（x-1）+（x+y+2）=0，
令x-1=0，求得x=1，y=-3，可得此直线经过定点（1，-3）．
（2）解：设直线与圆交于A、B两点．
当直线l过定点M（1，-3）且垂直于过点M的圆O的半径时，l被截得的弦长|AB|最短．
因为|AB|=2$\sqrt{|BO{|}^{2}-|OM{|}^{2}}$=2$\sqrt{16-[{1}^{2}+（-3）^{2}]}$=2$\sqrt{6}$，
此时k_AB=-$\frac{1}{{k}_{OM}}$=$\frac{1}{3}$．
故a+1=-$\frac{1}{3}$，则a=-$\frac{4}{3}$．
直线l被圆C截得的弦长最小值为2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查直线系方程，本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力及直线系的理解．