Question

12．已知λ∈R，函数f（x）=e^x-ex-λ（xlnx-x+1）的导数为g（x）．
（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若函数g（x）存在极值，求λ的取值范围；
（3）若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求λ的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=e^x-e-λlnx，f′（1）=0，又f（1）=0，得到曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=0．
（2）g（x）=f′（x）=e^x-e-λlnx（x＞0），g′（x）=${e}^{x}-\frac{λ}{x}$，函数g（x）存在极值，即方程${e}^{x}-\frac{λ}{x}=0$有正实数根，⇒λ=xe^x，（x＞0），可得λ的取值范围．
（3）由（1）、（2）可知f（1）=0，f′（1）=g（1）=0，结合（2）分λ≤e，λ＞e，讨论x≥1时，是否f（x）≥0恒成立，即可．

解答 解：（1）f（x）=e^x-ex-λ（xlnx-x+1）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=e^x-e-λlnx，f′（1）=0，又f（1）=0．
曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=0．
（2）∵g（x）=f′（x）=e^x-e-λlnx，（x＞0），g′（x）=${e}^{x}-\frac{λ}{x}$
函数g（x）存在极值，即方程${e}^{x}-\frac{λ}{x}=0$有正实数根，
⇒λ=xe^x，（x＞0），
令G（x）=xe^x，G′（x）=x（e^x+1）＞0在（0，+∞）恒成立．
x∈（0，+∞）时，G（x）＞0，
∴函数g（x）存在极值，λ的取值范围为（0，+∞）．
（3）由（1）、（2）可知f（1）=0，f′（1）=g（1）=0
结合（2）x≥1时，g′（x）=${e}^{x}-\frac{λ}{x}$≥0，可得λ≤xe^x，（x≥1），
G（x）=xe^x，在（1，+∞）恒成立．
∴λ≤e时，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0
故f（x）在[1，+∞）递增，∴f（x）≥f（1）=0．
当λ＞e时，存在x₀＞1，使g′（x）=0，∴x∈（1，x₀）时，g′（x）＜0，
即x∈（1，x₀）时，g（x）递减，而g（1）=0，
∴x∈（1，x₀）时，g（x）＜0，此时f（x）递减，而f（1）=0，
∴在（1，x₀），f（x）＜0，故当λ＞e时，f（x）≥0不恒成立；
综上x≥1时，f（x）≥0恒成立，λ的最大值为e

点评 本题考查了导数的综合应用，利用导数求极值、证明函数恒等式，属于难题