Question

【题目】如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，CD＝SD，点M是SA的中点，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝ADBC＝a．

（1）求证：平面MBD⊥平面SCD；

（2）若∠SDC＝120°，求三棱锥C﹣MBD的体积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）a3．

【解析】

（1）取BC中点E，连接DE，则AB＝AD＝a，BC＝2a．由题意可得：四边形ABED为正方形，可得BD2+CD2＝BC2，于是BD⊥CD，根据面面垂直的性质定理可得：BD⊥平面SCD，进而得出平面MBD⊥平面SCD．

（2）过点S作SH⊥CD，交CD的延长线于点H，连接AH．∠SDH为SD与底面ABCD所成的角，即∠SDH＝60°．点M到平面ABCD的距离d＝SH．可得三棱锥C﹣MBD的体积VBD×CDd．

（1）证明：取BC中点E，连接DE，则AB＝AD＝a，BC＝2a．由题意可得：四边形ABED为正方形，且BE＝DE＝CE＝a，BD＝CDa．

∴BD2+CD2＝BC2，则BD⊥CD，又平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD＝CD，

∴BD⊥平面SCD，BD平面MBD，∴平面MBD⊥平面SCD．

（2）解：过点S作SH⊥CD，交CD的延长线于点H，连接AH．

则∠SDH为SD与底面ABCD所成的角，即∠SDH＝60°．

由（1）可得：SD＝CDa，∴在Rt△SHD中，SDa，HDa，SHa．

∴点M到平面ABCD的距离da．

∴三棱锥C﹣MBD的体积VBD×CDda3．