Question

（本题满分13分）某厂家举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为万元时,销售量万件满足（其中,为正常数）. 现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品万件还需投入成本万元（不含促销费用）,产品的销售价格定为万元/万件.

（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数;

（2）促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.

Answer 1

（1），；

（2）当时, 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大；当时,促销费用投入a万元时,厂家的利润最大.

【解析】

试题分析：（1）根据利润=定价销售量-成本列出函数式；（2）利用基本不等式与函数的单调性进行求解.

解题思路:解决函数应用题的关键在于审清题意，从题意中提炼出有关数学量和关系式，将应用题转化为数学问题进行求解.

试题解析：（1）由题意知,该产品售价为万元,

, 代入化简得

,（） 5分

（2）

当且仅当时,上式取等号 8分

当时, 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大; 10分

当时,,故在 上单调递增,所以在x=a时,函数有最大值.促销费用投入a万元时,厂家的利润最大 12分

综上所述,当时, 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大；当时,促销费用投入a万元时,厂家的利润最大 13分.

考点：1.函数模型的应用；2.基本不等式；3.函数的最值.