Question

平面上两点F₁，F₂满足|F₁F₂|=4，设d为实数，令D表示平面上满足||PF₁|-|PF₂||=d的所有P点组成的图形，又令C为平面上以F₁为圆心、6为半径的圆．则下列结论中，其中正确的有

 

（写出所有正确结论的编号）．
①当d=0时，D为直线；
②当d=1时，D为双曲线；
③当d=2时，D与圆C交于两点；
④当d=4时，D与圆C交于四点；
⑤当d=4时，D不存在．

Answer 1

考点：双曲线的定义

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线的定义依次判断①②③④⑤中曲线D，再结合图形判断D与C的交点个数，可得答案．

解答： 解：①，当d=0时，D为线段F₁F₂的垂直平分线，∴①正确；
②，当d=1时，∵||PF₁|-|PF₂||=d＜|F₁F₂|=4，由双曲线的定义知D为双曲线，∴②正确；
③，当d=2时，D是双曲线，且c=2，a=1，∵C为平面上以F₁为圆心、6为半径的圆，∴D与圆C有4个交点，∴③错误；
④，当d=4时，D是两条射线，∴D与圆C有2个交点，∴④错误；
⑤，当d＞4时，由双曲线的定义知，不表示任何图形，∴D不存在，∴⑤正确；
故答案是①②⑤．

点评：本题考查了双曲线的定义，圆与双曲线的位置关系，数形结合是解答解析几何问题的有效方法．