Question

6．如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC，∠PCA=45°，E是PC的中点，F是PB的中点，G为线段PA上（除点P外）的一个动点．
（Ⅰ） 求证：BC∥平面GEF；
（Ⅱ） 求证：BC⊥GE；
（Ⅲ） 求三棱锥B-PAC的体积．

Answer 1

分析 （I）利用三角形中位线定理可得：EF∥CB，利用线面平行的判定定理即可证明：BC∥平面GEF．
（Ⅱ）由PA⊥⊙O所在的平面，可得BC⊥PA，利用圆的直径的性质可得BC⊥AB，再利用线面垂直的判定定理与性质定理即可证明．
（III）由（Ⅱ）知BC⊥平面PAC，再利用圆的性质、直角三角形的边角关系、三棱锥的体积计算公式即可得出．

解答 （I）证明：∵E是PC的中点，F是PB的中点，
∴EF∥CB，EF?平面GEF，
点G不于点P重合，CB?平面GEF，
∴BC∥平面GEF．
（Ⅱ）证明：∵PA⊥⊙O所在的平面，
BC?⊙O所在的平面，
∴BC⊥PA，
又∵AB是⊙O的直径，
∴BC⊥AB，
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∴GE?平面PAC，∴BC⊥GE．
（III）解：在Rt△ABC中，AB=2，AB=CB，∴AB=BC=$\sqrt{2}$，
∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴PA⊥AC．
∵∠PCA=45°，
∴PA=$\sqrt{2}$，
∴S_△PAC=$\frac{1}{2}PA•AC$=1，
由（Ⅱ）知BC⊥平面PAC，
∴V_B-PAC=$\frac{1}{3}{S}_{△PAC}•BC$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查空间线线、线面的位置关系、体积的计算、圆的性质、直角三角形的边角关系等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．