Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，解答下列问题：
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}满足a₁=2，a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，作差b_n+1-b_n=1，即可证明；
（2）利用等差数列的通项公式可得b_n，进而得到a_n．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}满足a₁=2，a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，
∴b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{a}_{n}}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1，
∴数列{b_n}是等差数列，首项与公差都为1．
（2）由（1）可得：b_n=1+（n-1）=n，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=n，解得a_n=1+$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．