Question

17．如图，已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且经过过点P（2，1）．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k₁，k₂，且k₁k₂=-$\frac{1}{4}$．
①求x₁²+x₂²的值；
②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和P的坐标满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得椭圆方程；
（2）①运用直线的斜率公式，可得k₁k₂=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，两边平方，再由点A，B的坐标满足椭圆方程，化简整理即可得到所求值；
②由题意可得C（x₂，-y₂），运用椭圆方程可得y₁²+y₂²=$\frac{3}{2}$，配方可得（y₁+y₂）²=$\frac{1}{2}$（3+4y₁y₂），（x₁-x₂）²=6-2x₁x₂=6+8y₁y₂，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求值．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，a²-b²=c²，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
可得椭圆标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）①由题意可得k₁k₂=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
即为x₁²x₂²=16y₁²y₂²，
又点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆M上异于顶点的任意两点，
可得4y₁²=8-x₁²，4y₂²=8-x₂²，
即有x₁²x₂²=（8-x₁²）（8-x₂²），
化简可得x₁²+x₂²=8；
②由题意可得C（x₂，-y₂），
由4y₁²=8-x₁²，4y₂²=8-x₂²，
可得y₁²+y₂²=$\frac{16-（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）}{4}$=2，
由x₁²+x₂²=（x₁-x₂）²+2x₁x₂=8，
可得（x₁-x₂）²=8-2x₁x₂，
由y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=2，
可得（y₁+y₂）²=2+2y₁y₂=$\frac{1}{2}$（1+y₁y₂），
由$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，即x₁x₂=-4y₁y₂，
可得（x₁-x₂）²=8-2x₁x₂=8+8y₁y₂，
则直线AC的斜率为k_AC=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=±$\sqrt{\frac{\frac{1}{2}（1+{y}_{1}{y}_{2}）}{8（1+{y}_{1}{y}_{2}）}}$=±$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线的斜率的求法，注意运用点满足椭圆方程，直线的斜率公式和两边平方及配方的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．