Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，以F₁F₂为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且|F₁F₂|=4，则a等于

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题设条件知AF₁=AB=BF₂=c，∠F₁AF₂=120°，所以2a=（

3

+1）c，由|F₁F₂|=4能求出a=

3

+1．

解答： 解：设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，
由题设条件知AF₁=AB=BF₂=c，∠F₁AF₂=120°，
∴AF₁=c，AF₂=

3

c，
∴2a=（

3

+1）c，
∵|F₁F₂|=4，∴c=2，
∴a=

3

+1．
故答案为：

3

+1．

点评：本题考查椭圆的长半轴的求法，是中档题，解题要认真审题，注意椭圆的简单性质的灵活运用．