Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线B₁D₁上一点E满足D₁E=1，则∠CDE的大小为

 

．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间角

分析：首先，建立空间直角坐标系，然后，写出C（1，1，0），D（0，1，0），E（

2

2

，1-

2

2

，1）的坐标，从而得到

DC

=（1，0，0），

DE

=（

2

2

，-

2

2

，1），然后，借助于空间中两向量的夹角公式进行求解．

解答： 解：如图示：

∵D₁E=1，
在直角三角形DD₁E中，
∵D₁D=D₁E=1，
∴DE=

2

，
以A为坐标原点，以向量

AB

所在直线为x轴，以向量

AD

所在直线为轴，
以向量

AA1

所在直线为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，
则C（1，1，0），D（0，1，0），E（

2

2

，1-

2

2

，1），
∴

DC

=（1，0，0），

DE

=（

2

2

，-

2

2

，1），
∴cos∠CDE=

DC • DE

| DC || DE |

=

1× 2 2 +0+0

( 2 2 )2+(- 2 2 )2+1 •1

=

1

2

，
∵∠CDE∈[0，π]，
∴∠CDE=60°，
故答案为：60°．

点评：本题重点考查了空间直角坐标系的建立，空间中角度的求解方法等知识，属于中档题．