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(本小题满分12分)
如图,在体积为1的三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AA1=1,P为线段AB上的动点.

(1)求证:CA1⊥C1P;
(2)当AP为何值时,二面角C1-PB1-A1的大小为?

(1)证明略
(2)2-
解:(1)证明:∵AA1⊥底面ABC,∴AA1⊥AC,AA1⊥AB.
又∵AB⊥AC,
∴以A为原点,AC,AB,AA1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立直角坐标系.
又∵VABC-A1B1C1=AB×AC×AA1=1,∴AB=2.(2分)
设AP=m,则P(0,m,0),而C1(1,0,1),C(1,0,0),A1(0,0,1),
∴=(-1,0,1),=(-1,m,-1),
∴·=(-1)×(-1)+0×m+1×(-1)=0,
∴CA1⊥C1P.(6分)
(2)设平面C1PB1的一个法向量n=(x,y,z)
令y=1,则n=(2,1,m-2),(9分)
而平面A1B1P的一个法向量=(1,0,0),
依题意可知cos===,
∴m=2+(舍去)或m=2-.
∴当AP=2-时,二面角C1-PB1-A1的大小为.(12分)
练习册系列答案
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