Question

在△ABC中，B（-1，0），C（1，0）．G，I分别是△ABC的重心和内心，

IG

∥

BC

．
（1）求原点A的轨迹M的方程；
（2）过点C的直线交曲线M于P、Q两点，H是直线x=4上一点，设直线CH，PH，QH的效率分别为k₁，k₂，k₂，求证：2k₁=k₂+k₂．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由

IG

∥

BC

，利用重心的性质可得|y_A|=3r，其中r为内切圆半径．又S△ABC=

1

2

(|AB|+|AC|+|BC|)•r=

1

2

|BC|•|yA|，且|BC|=2，可得|AB|+|AC|=4，利用椭圆的定义即可得出．
（2）当直线PQ斜率存在时，设直线PQ：y=k（x-1）且P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），H（4，m），与椭圆方程联立可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可证明；当直线PQ斜率不存在时也成立．

解答： （1）解：∵

IG

∥

BC

，∴|y_A|=3r，其中r为内切圆半径．
又S△ABC=

1

2

(|AB|+|AC|+|BC|)•r=

1

2

|BC|•|yA|，且|BC|=2，
∴|AB|+|AC|=4，
∴顶点A的轨迹是以B、C为焦点，4为长轴长的椭圆（去掉长轴端点），
其中a=2，c=1，b=

3

，
∴

x2

4

+

y2

3

=1（y≠0）．
（2）证明：当直线PQ斜率存在时，设直线PQ：y=k（x-1）且P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），H（4，m），
联立

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，化为（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
可得x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．
由题意：k1=

m

3

，k2=

y1-m

x1-4

，k3=

y2-m

x2-4

．
∴k2+k3=

(y1-m)(x1-4)+(y2-m)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

=

8m+8k+2kx1x2-(m+5k)(x1+x2)

x1x2-4(x1+x2)+16

=

24mk2+24m

36k2+36

=

2m

3

=2k1．
当直线PQ斜率不存在时，P(1，

3

2

)，Q(1，-

3

2

)，k2+k3=

m- 3 2

3

+

m+ 3 2

3

=

2m

3

=2k1
综上可得2k₁=k₂+k₃．

点评：本题考查了三角形的重心与内心的性质、三角形的面积计算公式、重心与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．