Question

设凼数f（x）=

a

•

b

，其中

a

=（cosx，sinx），

b

=（cosx，-3sinx+4cosx），x∈R
（1）求凼数f（x）的最小值以及取得最小值时x的集合．
（2）若凼数g（x）=f（x+

π

8

）+4

2

asinx-2

2

a²（0≤x≤π）的最大值为-

2

-1，求实数a的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数的最值

专题：平面向量及应用

分析：首先由向量的数量积求出函数解析式并化简后，然后利用三角函数的性质解答．

解答： 解：由已知得函数f（x）=

a

•

b

=cos²x-3sin²x+4sinxcosx=cos2x+cos2x-1+2sin2x=2

2

sin（2x+

π

4

）-1，
所以（1）凼数f（x）的最小值为-1-2

2

，取得最小值时x的集合是{x|2x+

π

4

=2kπ-

π

2

}，即{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}．
（2）凼数g（x）=f（x+

π

8

）+4

2

asinx-2

2

a²（0≤x≤π）
=2

2

sin（2x+

π

2

）-1+4

2

asinx-2

2

a²
=2

2

cos2x+4

2

asinx-2

2

a²-1
=2

2

-4

2

sin²x+4

2

asinx-2

2

a²-1
=-4

2

（sinx-

a

2

）²-

2

a²+2

2

-1，
因为0≤x≤π时函数的最大值为-

2

-1，
所以当a∈[0，2]时，sinx=

a

2

时函数最大值为-

2

a²+2

2

-1=-

2

-1，解得a=

3

（-

3

舍去）．
当a＞2时，函数在[0，π]单调递增，sinx=1时最大值为-

2

-1=2

2

-4

2

+4

2

a-2

2

a²-1，解得a=1+

2

2

；
当a＜0时，函数在[0，π]单调递减，sinx=0时最大值为-

2

-1=2

2

-2

2

a²-1，解得a=-

6

2

；
综上实数a的值为

3

，1+

2

2

，或者-

6

2

．

点评：本题考查了向量的数量积运算以及三角函数解析式的化简，利用三角函数与二次函数的性质解题，考查了讨论的数学思想，属于中档题．