Question

设函数.

（1）当时,求曲线在处的切线方程;

（2）当时,求函数的单调区间;

（3）在（2）的条件下,设函数,若对于,,使成立,求实数的取值范围.

 

Answer 1

（1）；（2）当时，函数的单调递增区间为；单调减区间

（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点；（2）利用函数的单调性与导数的关系；若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到;（3）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2）.

试题解析：解:函数的定义域为,

（1）当时，，，

∴在处的切线方程为

当，或，，当时，

故当时，函数的单调递增区间为；单调减区间

当时，由以上知函数在上为减函数，所以在上的最小值

若对于使成立在上的最小值不大于在[1,2]上的最小值（*）

又

①当时，在上为减函数，矛盾

②当时，，由及得，

③当时，在上为减函数，

此时

综上，的取值范围为.

考点：（1）求曲线的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）恒成立的问题.