Question

19、已知函数f（x）=a+b^x-1（b＞0，b≠1）的图象经过点（1，3），函数f^-1（x+a）（a＞0）的图象经过点（4，2），试求函数f^-1（x）的表达式．

Answer 1

分析：函数f（x）=a+b^x-1（b＞0，b≠1）的图象经过点（1，3），则f（1）=3．f^-1（x+a）（a＞0）的图象经过点（4，2），试求函数f^-1（4+a）=2．根据两个方程，求出待定系数a、b．再根据求反函数的方法，求出反函数即可．

解答：解：∵函数f（x）=a+b^x-1（b＞0，b≠1）的图象经过点（1，3），
∴a+b⁰=3，a=3-b⁰=3-1=2．
又函数f^-1（x+a）（a＞0）的图象经过点（4，2），
∴f^-1（4+a）=2．
∴f（2）=4+a=4+2=6，
即2+b^2-1=6．
∴b=4．
故f（x）=2+4^x-1．
再求其反函数即得
f^-1（x）=log₄（x-2）+1（x＞2）．
答：其反函数为f^-1（x）=log₄（x-2）+1（x＞2）．

点评：注意反函数有一个重要性质就是f^-1（a）=b．则必有f（b）=a，要灵活使用该性质．在求出反函数后，必须标明反函数的定义域．