Question

16．已知{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{1}{2}$，{b_n}为等差数列，b₃=a₃-2，b₁₃=a₄．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，求得a₁=1，当n≥2时，S_n-1=$\frac{3}{2}$a_n-1-$\frac{1}{2}$，与原式相减求得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3，{a_n}为等比数列，首项为1，公比为3，可知a_n=3^n-1，由b₃=a₃-2，b₁₃=a₄．根据等差数列的性质求得即可求得{b_n}的通项公式；
（2）由（1）可知a_nb_n=3^n-1×（2n+1），采用乘以公比“错位相减法”即可求得T_n．

解答 解：（I） 当n=1，a₁=$\frac{3}{2}$a₁-$\frac{1}{2}$，
∴a₁=1，
当n≥2时，S_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{1}{2}$，S_n-1=$\frac{3}{2}$a_n-1-$\frac{1}{2}$，
两式相减得：a_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$a_n-1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3，
∴{a_n}为等比数列，首项为1，公比为3，
a_n=3^n-1，…（4分）
b₃=a₃-2=7，b₁₃=a₄=3³=27，
∴$d=\frac{{{b_{13}}-{b_3}}}{13-3}=2$，
b_n=b₃+（n-3）d=2n+1，
b_n=2n+1．…（6分）
（II）T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，
=1×3+3×5+3²×7+…+3^n-1×（2n+1），
3T_n=3×3+3²×5+3³×7+…+3^n-1×（2n-1）+3ⁿ×（2n+1），
两式相减得：-2T_n=3+3×2+3²×2+…+3^n-1×2-3ⁿ×（2n+1），…（8分）
=3+2×$\frac{3-{3}^{n}}{1-3}$-3ⁿ×（2n+1），
=3ⁿ-3ⁿ×（2n+1），
=-2n•3ⁿ，
∴T_n=n•3ⁿ．…（12分）

点评 本题考查等差及等比通项公式及前n项和公式，考查“错位相减法”求前n项和，考查计算能力，属于中档题．