Question

8．已知二次函数f（x），不等式f（x）＜0的解集为（0，5），且f（x）在区间[-1，3]上的最大值为12
（1）求f（x）得解析式    
（2）设函数f（x）在x∈[t，t+1]的最小值为g（t），求g（t）的表达式．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＜0的解集为（0，5），得出f（x）=m（x-5）x，m＞0，f（x）在区间[-1，3]上的最大值为12．f（-1）=12，即可求出解析式．
（2）根据二次函数的对称轴和单调性判断．

解答 解：：（1）∵f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集为（0，5），
∴f（x）=m（x-5）x，m＞0，对称轴x=$\frac{5}{2}$，
∵f（x）在区间[-1，3]上的最大值为12，
∴f（-1）=12，
∴m=2，
∴f（x）=2x²-10x，
（2）由（1）知，要使x∈[t，t+1]的最小值为g（t），
∴t≥$\frac{5}{2}$，
g（t）=2t²-10t．

点评 考查了二次函数的性质和利用性质求函数的表达式．属于基础题型，应熟练掌握．